複素数
共益な複素数の性質
複素数a+biについてa-biを共役な複素数という。z=a+biとすると、共役な複素数は
z=a-bi
と表す。
zの共役な複素数zの共役な複素数はzと一致する。
複素数の絶対値
複素数の極形式
z=a+biのとき、上の図からa=rcosθ,b=sinθとなり、
r>0となる。
z=r(cosθ+isinθ)と「極形式」で表記できる。
θをzの偏角を定義しargz=θで表す。
r=|z|
a+biの共役な複素数a-biを極座標考える。
a-bi=r(cosθ-isinθ)
a-biを座標平面上に図示すると。
複素数の積と商
z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)
z1×z2=r1r2
=(cos(θ1+θ2+isin(θ1+θ2)
z1÷z2=(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)
ド・モアブルの定理
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isin nθ1のn乗根
zn=0の1つの解を1のn乗根と言われ以下の式が成り立つ。zn=cos(×k)+isin(×k)
(k=0,1,2,...,n-1)
複素数と角
点B(β)を点A(α)を中心として反時計周りにθ回転した点C(γ)はγ=(cosθ+isinθ)(β-α)+α
→=cosθ+isinθであるから
θ=
2直線のなす角はを極形式で表せばわかる。
一直線上にある条件,垂直に交わる条件
3点が一直線上にある条件。複素数平面上の3点A(α),B(β),C(γ)について
角BAC=arg()
3点A,B,Cが一直線上にある条件は、
角BAC=0度か角BAC=180度
なのでsin0=0か、sinπ=0となる。
複素数の虚部が0となり、実部だけとなる。
が実数となる。
3点AB,ACが垂直になる条件は、
角BAC=となり、
なのでcos=0となる。
複素数の実部が0となり、虚部だけとなる。
が純虚数となる。
-----------------------------------------------------
Short Notes
Homeに戻る