微分

かけ算,わり算の導関数

合成関数の微分

\frac{dy}{dx}

\frac{dy}{du}

\frac{du}{dx}

y=(x²+2x+3)³のとき
y'={(x²+2x+3)³}'

→y'=(2x+2)×3(x²+2x+3)²

逆関数の微分

y=f(x)の逆関数をy＝f^-1(x)とすると
x=f(y)
両辺をxで微分すると
1=

\frac{df(y)}{dy}

\frac{dy}{dx}

よって1=

\frac{dx}{dy}

\frac{dy}{dx}

媒介変数で表された関数の微分

x=f(t),y=g(t)のとき

他の導関数

接線、法線の方程式

曲線y=f(x)上の点(a,f(a))における接線の傾きはf'(a)であるから
(1)接線の方程式はy-f(a)=f'(a)(x-a)

(2)法線(接線に垂直な直線)の方程式は
f'(a)≠0のとき　y - f(a)= -

\frac{1}{f'(a)}

(x-a)

f'(a)=0のとき　x=a

平均値の定理

[1]関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能のとき

を満たす実数cが存在する。

[2]関数f(x)が閉区間[a,a+h]で連続、開区間(a,a+h)で微分可能のとき
f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)
0 < θ < 1
を満たす実数θが存在する。

導関数の符号と関数の増減

(1)関数の増減
関数f(x)が、区間[a,b]で連続、区間(a,b)で微分可能の場合。
(A)区間(a,b)で常にf'(x)>0ならばf(x)は区間[a,b]で増加。
(B)区間(a,b)で常にf'(x)< 0ならばf(x)は区間[a,b]で減少。
(C)区間(a,b)で常にf'(x)＝0ならばf(x)は区間[a,b]で一定。

(2)関数の極大・極小
(A)f(x)がx＝aを境界にして増加から減少に変化するときx＝aで極大値を取る。
(B)f(x)がx＝aを境界にして減少から増加に変化するときx＝aで極小値を取る。

(3)極大,極小と微分係数
f(x)がx=aで微分可能であり、x＝aにおいて極値をとるならば
f'(a)=0

曲線の凹凸の判定、変曲点

(1)(A)f''(x)>0となっている区間では、曲線y=f(x)は下に凸
(B)f''(x)< 0となっている区間では、曲線y=f(x)は上に凸

(2)変曲点
曲線の凹凸が入れ替わる境になる点を変曲点という。
f(x)が２回微分可能であり、f"(a)=0であるとき、
x=aの前後でF"(x)の符号が変わるならば、曲線-=f(x)上の点(a,f(a))は変曲点となる。