整数
パターンを網羅すればある程度回答できるようになる分野。余りを変数で表す
自然数nを３で割った余りが1,2の場合はn=3k+1,3K+2と表す。
4を3で割ると4÷3=1余り1である。
4=3x1+1と表せる。
また5=3x1+2と表せる。
同様に３で割って１余る数と２余る数は3k+1,3k+2と表せる。
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約数の個数,積
整数1500を素因数分解すると
1500=22×3×53
1500の約数の個数は
(2+1)×(1+1)×(3+1)=24個
理由[(20,21,22),(30,31),(50,51,52,53)]
の各()中から１つずつ選択しかけて約数にするので1500の約数の個数は3×2×4=24(個)
(1500の約数)→1,2,3,.....500,750,1500
(1×1500)×(2×750)×(3×500)×....×(30×50)
( × )の数は１２個(約数の個数の24個の半分)
(1500の約数の積)=1500(24÷2)
=150012
ユークリッド互除法
550x+122y=2を満たす整数x,yを出す問題の場合,
xとyに該当する整数が分かれば問題が解けるが該当する整数がパッと出ない。
この場合にユークリッド互除法を用いる。
550=122×4+62
122=62×1+60
62=60×1+2となる。
2が与式と一致したのでここで止める。(与式の因数になったら割り算を止める)
62-60×1=2と移項する。
ここで62や60を550や122に変換したい。
60をより大きい122と62で置き換える。
62-(122-62×1)×１=2
→122×(-1)+62×2=2
62をより大きい割る数である550と122で置き換える。
→122×(-1)+(550-122×4)×2=2
→550×2+122×(-9)=2
これでユークリッド互除法は完成。
上の式から与式を引けばすぐにxとyが全て出せる。
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合同式(応用)
公式は何個かあるが、暗記せず
二項定理(数学Aの確率)で導出を暗記しておけば全て事足りる(末項だけを利用する)。
８30を５で割った余りを求める場合
830≡
(5+3)30=30C05 30×30+29C1 529×31+...+30C295 1×329+30C305 0×330
≡330 mod 5
330=915=817×9
=(80+1)7×(5+4)
≡17×(5+4) mod5
≡5+4 mod5
≡4 mod5となり
８30を５で割った余りは４となる。
合同式は誘導なしでは共通テストでは出題されない。
余りがループする
合同式だけでは解けず、あまりの周期性に注目しなければ解けない場合がある。
Short Notes
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